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Research on interpolation method of lake terrain zoning based on orthogonal experiment optimization
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摘要: 为降低湖底高程采样点变异较大对插值计算的影响，获得精度较高的湖底地形，将高程采样点变异程度对插值的影响引入普通的反距离加权插值法中，提出了考虑高程采样点变异程度的湖泊地形分区插值方法。通过正交试验优化方法，得到各分区反距离最优幂值。以太湖为研究实例，对比了几种插值方法对太湖湖底地形的插值效果。结果表明分区域反距离加权插值法具有良好的适应性：在高程方面，经实测验证，其均方根误差最小；在库容方面，该方法与克里金法、反距离加权插值法、自然邻域法相比，平均相对误差分别减少0.97%、0.90%、1.37%，插值效果明显更优。因此，在湖泊地形起伏较大情况下，分区域反距离加权插值法能够获得较高精度的湖底形态，可用于不同类型的湖底地形插值计算。Abstract: In order to reduce the influence of large variation of lake bottom elevation sampling points on interpolation calculation and obtain high precision lake bottom topography, the influence of variation degree of elevation sampling points on interpolation is introduced into the ordinary Inverse Distance Weight (IDW) interpolation, and a lake terrain partition interpolation method considering the variation degree of elevation sampling points is proposed. By introducing the optimization method of orthogonal test optimization, the optimal power value of inverse distance in each partition is obtained. Taking Taihu Lake as an example, the interpolation effects of several interpolation methods on the bottom topography of Taihu Lake are compared. The results suggest that the regional inverse distance weighted interpolation method keeps good adaptability, it is verified by the measured elevation value, and the root mean square error is the smallest. Considering the terms of storage capacity error, comparing with Kriging method, inverse distance weighted interpolation method as well as natural neighborhood method, the average relative error is decreased by 0.97%, 0.90% and 1.37%, respectively. The interpolation effect is obviously superior to these interpolation methods. Therefore, when it comes to large topographic relief of the lake, the subregional inverse distance weighted interpolation method can obtain a high-precision lake bottom shape, and is of high application value for different types of lake bottom topography interpolation calculation.
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水文水资源、水环境数值模拟等研究需要高精度的河流或湖泊地形数字信息[1-2]。建立数字高程模型较为成熟的方法是将现有地形图数字化通过内插方法生成DEM（Digital Terrain Model），国内常利用多种高程信息（等高线、高程点、骨架点）通过插值算法生成DEM[3]。湖底高程信息测量的主要手段有网络RTK联合声波探测仪[4]、水下测量机器人[5]等。然而，由于研究区域地形地貌、测量手段等多方面因素限制，湖底设置观测点的数量有限，其布局也无法完全满足研究要求[6-9] ，利用观测点高程数据进行空间插值展布，成为获得高精度湖底地形数据的主要手段之一。空间地形插值的方法有很多，最为常见的是克里金插值[10]和反距离加权插值[11]，其中反距离加权插值法采用插值点到所有空间已知高程点的反距离加权平均来控制插值，计算简单，应用最为广泛[12-14]。很多学者将反距离加权插值法引入水下地形研究，如华祖林等[15]利用对比三角网格法、反距离加权插值法和克里金法，分析河道强弯段、干支交汇处等地形复杂区域的插值效果，并将获得的黄浦江全段插值地形用于潮位计算，结果表明克里金法对黄浦江全段的适应性最好、精度最高；蒋伟达等[16]研究埕岛海域地形演变，利用多种插值方法进行适应性比较，发现反距离加权插值法能够很好地生成埕岛海域范围内的水深地形；李冕等[17]基于自适应凸包选点改进反距离加权插值法，并将其应用于2011年的渤海无机氮评价，相比传统的反距离加权插值法（Inverse Distance Weight，IDW），改进的插值法能够更好地反映海水污染物空间分布状况；秦俊桃等[18]比较了反距离加权插值法等8种空间插值方法在地下水位插值中的应用效果，认为反距离加权插值法较适用于西北干旱地区的地下水位插值。
然而在以往对反距离加权插值法的研究中，主要涉及利用反距离加权插值法解决实际问题，对反距离加权插值算法本身的研究相对匮乏，有关距离加权插值的长度幂值对插值影响的研究较少。Li等[19]在反距离加权插值法公式中添加系数K以调整距离采样点的权重，提高了插值精度；李翔宇等[20]研究了全国不同密度的近海岸反距离加权插值法的参数选取，近海岸插值的加权幂值选2为最优；张锦明等[21]研究了插值参数对插值精度的影响，认为权指数对插值精度影响最为显著。与普通的反距离加权插值方法相比，这些方法虽然都考虑了权指数对插值精度的影响，但对地形变化较大的湖泊，如整个湖泊给定同一幂值，存在平滑效应影响插值效果的问题。
由于反距离加权插值法通过长度幂值来控制插值周边采样点对插值点的影响，地形起伏较大的湖泊幂值的选取对模拟精度会产生较大影响。本文提出对采样点进行方差计算，分析每个采样点与其周围采样点高程的变异程度；再利用K-means聚类，对采样点以方差为指标进行聚类分析；对不同类别点的幂值采用正交试验表进行选优，以高程-库容曲线的库容值为衡量指标选取最优幂值，最终得到湖底地形形态。
1. 研究方法
1.1 普通反距离加权插值法
反距离加权插值法也称为反距离倒数乘方法，每个高程数据已知点对插值点都有影响，即为权重，反距离加权插值法主要依赖反距离的权重来控制插值。采样点距离插值点越近将被赋予越大的权重；反之，距离越远，其权重越小[22]。将插值函数Z(x，y)定义为各已知高程点Z*(xi，yi)的加权平均值，设有n个已知高程数据点，平面坐标为(xi，yi)，其计算式为：
$$ Z(x,y) = {w_i}{Z^*}({x_i},{y_i}) $$ (1) $$ {w_i} = {{h_i^{ - p}} \mathord{\left/ {\vphantom {{h_i^{ - p}} {\sum\limits_{j = 1}^n {h_j^{ - p}} }}} \right. } {\sum\limits_{j = 1}^n {h_j^{ - p}} }} $$ (2) $$ {h_i} = \sqrt {{{(x - {x_i})}^2} + {{(y - {y_i})}^2}} $$ (3) 式中：wi为每个已知高程点的长度权重；p为长度的幂值，为任意正实数；hi为第i个已知高程点到插值点间的距离（m）；hj为第j个已知高程点到插值点间的距离（m）；n为已知高程点的数量。
普通的IDW插值利用采样点距离插值点的长度确定权重，虽然每个采样点都定义了幂值以考虑所有采样点的影响，但仅考虑了距离因素未考虑采样点的变异程度对插值的影响。因此，在地形起伏较大的区域应用有一定的局限性。
1.2 分区域反距离加权插值方法构建
1.2.1 地形分区
方差在统计学中是衡量一组数据离散程度的重要度量，选取方差作为衡量采样点数据起伏程度的指标，计算每个点与其周围z个采样点的高程值之间的方差。本文采用K-means聚类算法对衡量数据起伏程度的方差进行分析，对起伏程度相似的采样点赋相同的长度幂值。选取欧式距离作为相似的测度，每个采样点的方差作为聚类样本，K-means算法的具体步骤如下：
（1）在n个高程方差样本中选取k个样本作为初始聚类中心ci (i=1, 2, …, k)。
（2）计算除聚类中心外其他高程方差样本pj到聚类中心的欧式距离：
$$ {L_{ij}} = \sqrt {({p_j} - {c_i}){{({p_j} - {c_i})}^{\rm{T}}}} $$ (4) 式中：j为高程采样点中除聚类中心外的其他样本点，j=1, 2, …, n−1。
（3）根据聚类中心构造k个集合，每个样本依据与聚类中心的欧式距离，划归到与之最近的集合中。
（4）采用均值更新聚类中心：
$$ {c_i} = \frac{1}{{{n_i}}}\sum\limits_{r = 1}^{{n_i}} {{p_{ir}}} $$ (5) 式中：ni为第i个集合的样本个数；pir为第i个聚类中第r个采样点到聚类中心的距离（m）。
（5）重复步骤（2）~（4），直到满足精度要求，聚类中心不发生改变。
1.2.2 幂值选优
由于区域的幂值选择数目较多，若将所有组合遍历选优，则工作量过大。正交试验方法遵循“均衡搭配”的原则，通过尽可能少的试验次数求解出最优方案。因此，本文采用正交试验选优的方法，通过构造正交试验表选取一部分组合试验，然后根据试验值推求得到全部组合的理论最优解。
在正交试验表Lp(tq)中，t为水平数，即幂值n在可行域内的离散个数；q为正交表最多安排因素的个数，即地形划分的区域数；p为正交表的总方案数。其中p，t，q之间的关系[23]如下：
$$ p = {t^v} $$ (6) $$ q = \frac{{{t^v} - 1}}{{t - 1}} \geqslant Y - 1 $$ (7) 式中：v为任意整数；Y为正交表实际因素的个数。
1.3 分区域反距离加权插值方法实现
与传统的插值法相比，分区域反距离加权插值法据所属类别赋予每个插值点特定幂值，但在实际插值中，划分插值点所属类别较为困难。因此，本文采用K近临算法来划分插值点的类别：如果一个样本在特征空间中m个最相似（即距离样本距离最近的m个点）的样本都属于同一类别，则该样本也属于这个类别。将高程采样点按照聚类分析构建k个数据集：
$$ \left\{\begin{gathered} {T_1} = \{ ({x_{11}},\;{y_{11}},\;{{\textit{z}}_{11}},\;{p_1}),\; \cdots ,\;({x_{1a}},{y_{1a}},\;{{\textit{z}}_{1a}},\;{p_1})\} \\ \;\;\;\;\;\quad\vdots \\ {T_k} = \{ ({x_{k1}},\;{y_{k1}},\;{{\textit{z}}_{k1}},\;{p_k}),\; \cdots ,\;({x_{k{\text{c}}}},\;{y_{kc}},\;{{\textit{z}}_{kc}},\;{p_k})\} \\ \end{gathered}\right. $$ (8) 式中：T1、T2、…、Tk为k个区域构建的高程采样点集合；pk为每个区域给定的幂值；xkc、ykc、zkc分别为第k个数据集中第c个采样点的坐标。
选用欧式距离作为计算插值点与各个数据集中采样点之间的距离，按照距离递增关系进行排序，选取距离最小的Ｍ个点；计算前M个点在各数据集出现的频率，选取出现频率最高的数据集作为插值点的所属区域，即选用该数据集的长度幂值作为该插值点的长度幂值。
2. 研究区域与数据
选取太湖湖底高程进行模拟插值。太湖地处长江三角洲的南部，是中国第三大淡水湖，横跨江、浙两省，北临无锡，南靠湖州，西近宜兴，东依苏州。太湖整体呈西高东低，平均年出湖流量约75亿m3，蓄水量约44 亿m3。太湖湖泊面积2 427.8 km2，水域面积为2 338.1 km2。太湖湖底高程一般为1.0 m，中东部为洼地，其地面高程为3.0~4.5 m，最低处仅2.5 m，其他区域地面高程为5.0~8.0 m。
2.1 数据基础
试验数据来源于太湖湖底的实测数据，实测高程点有6242个，区域范围为整个湖区，离散点空间密度为2.57个/km2，测点的平均高程为−0.64 m。实测点空间分布见图1，其数据格式为“X-Y”。由图1可以看出，测点主要分布在湖岸、人工岛周围和湖心区，其中湖的东侧、东南侧实测点分布较为集中。
2.2 分区域反距离加权插值方法应用
2.2.1 太湖采样点分区
太湖水面面积较大，湖底高程采样点较为分散。为更好衡量湖泊地形采样点的局部变异程度，选取每个采样点与其周围最近的10个采样点为对象，进行方差分析（见图2）。
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图 2 太湖地形采样点局部起伏分布Figure 2. Local undulation distribution map of Taihu Lake terrain sampling points从图2可以看出，湖心区域地形趋于平缓，靠近湖岸区域有较小地形起伏，太湖的西北侧、湖心岛等区域地形起伏较大，这符合太湖地形的实际情况，因为太湖湖心区域分布多座小型岛屿。根据太湖的湖底地形起伏情况，将湖区分成3个区域：湖心平缓区、湖心岛周边区、湖岸区，故将K-means聚类的初始聚类中心设置为3。
K-means聚类将地形采样点方差数据划分为3个区间，即[0，0.20）、[0.20，0.45）、[0.45，1.00]。
2.2.2 太湖各区域幂值选优
试验因素、试验水平、试验指标的确定与正交表的构建如下。
（1）试验因素： K-means聚类依据局部地形起伏程度将太湖湖底划分为3个区域，选取划分的区域作为试验因素，试验因素数量为3。
（2）试验水平： 选取反距离插值法的幂值作为试验水平。为了试验选优的方便性，试验水平的可行区间取[1，4]，但考虑到各区域连接处的平顺插值，各区域幂值不能相差太大，所以将幂值可行区间划分为3段：1~2、2~3、3~4，各可行区间步长取0.2，幂值水平数为5。
（3）试验指标： 选取实测高程为正交试验的指标。
（4）正交表选择： 3因素5水平，全部组合为3×53=375，将全部方案代入分区域反距离加权插值法生成高程工作量较大。为此，采用部分试验选优的方法，构建3个3因素5水平的正交试验表L25(53)，按正交表选择75种试验组合方案，即可获得对应全部试验组合的理论最优区域幂值方案。试验组合方案详见图3。
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图 3 L25(53)正交表区域幂值选优方案组合Figure 3. L25(53) orthogonal table region power selection scheme combination本文采用留一法进行最优方案的确定，选取10%的实测高程数据作为验证点，其高程点的平均高程值为−0.635 m，然后利用规则网格模型内插得出对应点的高程并与之比较。采用与实测高程点的均方根误差来表征空间插值结果的相对误差，将其作为试验的最后评定指标，分析结果见图3。
通过正交分析，可以获得全部试验组合的理论最优解。在幂值范围1~2中，各方案与实测高程点的平均均方根误差为0.273 m，方案21为最优，与实测高程点的均方根误差为0.198 m。在幂值范围2~3中，各方案与实测高程点的平均均方根误差为0.156 m，方案21最优，均方根误差为0.145 m。在幂值范围3~4中，各方案与实测高程点的平均均方根误差为0.146 m，方案22最优，均方根误差为0.144 m。通过各正交表的误差分析，可得区域1幂值取4.0、区域2幂值取3.4、区域3幂值取3.2时，空间插值得到的高程值与实测高程值均方根误差最小，空间插值结果最优。
3. 结果分析与讨论
为考量分区域反距离加权插值法在地形插值中的效果，将本文的分区域反距离加权插值法与经典的IDW法、普通克里金方法、自然邻域法对比，利用上述留一法对空间插值结果与实测高程值进行验证。根据《多尺度数字高程模型生产技术规定》[24]，平地、山地、丘陵地和高山地的2 m网格DEM点位中误差限分别为0.7、1.7、3.3和6.7 m，表1中均方根误差数据表明分区反距离加权法、反距离加权法、克里金法和自然邻域法不同地形区中误差皆在允许范围之内。同时，由表1可以看出，克里金法与反距离加权法精度相近，自然邻域法的插值精度与克里金法、反距离加权法相比明显提高，本文提出的分区域反距离加权法精度略高于自然邻域法。
表 1 4种空间插值方法的误差分析结果（高程）Table 1. Error analysis results of four spatial interpolation methods (elevation)插值方法 高程平均值/m 最大相对误差/% 均方根误差/m 实测高程 −0.635 / / 分区域反距离加权法 −0.637 93.24 0.144 反距离加权法 −0.642 73.31 0.175 克里金法 −0.640 89.42 0.178 自然邻域法 −0.647 85.61 0.165 以太湖湖底高程为插值对象，对比反距离加权法、克里金法、分区域反距离加权法对太湖地形空间展布结果：在湖心与岸边交界区域、湖心岛附近，反距离加权法和克里金法的空间展布都有明显的梯度，出现了由湖岸向湖心高程陡降的异常突变，反距离加权法的突变更加明显（见图4），与实际情况不符。分区域的反距离加权法较好地反映了插值结果受采样点起伏程度而表现出的空间变异性，能够正确处理采样点变异度较大而引起的数据异常，更加接近太湖湖底高程分布的实际情况。
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图 4 太湖湖底地形空间展布Figure 4. Spatial distribution of topography at the bottom of Taihu Lake为衡量分区域反距离加权法在湖底地形模拟中的整体效果，提取不同高程对应的库容值与实测库容值[25]进行误差分析（表2）。4种插值方法得到的太湖湖泊库容与实测值都存在一定差异，自然邻域法插值提取的库容数据与实测数据的偏差最大，均方根误差达到2.72 亿m3，反距离加权法与克里金法的插值均方根误差相近，均方根误差分别为2.47 亿 m3和2.48 亿m3，分区域的反距离加权法误差最小，其插值效果明显优于反距离加权法、克里金法和自然邻域法。
表 2 多种方法插值结果误差分析（库容）Table 2. Error analysis of interpolation results by various methods (storage capacity)插值方法 最大相对误差/% 平均相对误差/% 均方根误差/亿m3 分区域反距离加权法 9.65 7.70 2.34 反距离加权法 16.29 8.67 2.47 克里金法 14.69 8.60 2.48 自然邻域法 16.26 9.07 2.72 4. 结 语
通过K-means聚类将太湖湖底进行区域划分，针对深水湖泊湖底高程起伏较大的特点，以插值后地形数据提取的库容曲线与实测库容曲线的均方根误差为指标，提出对湖底分区域给定幂值，并通过正交试验选优的优化方法，充分考虑了湖底高程采样点的变异程度，优化确定各区域幂值，这对提高插值精度有重要意义。
在其他条件相同的情况下，对比反距离加权法、克里金法和自然邻域法，分区域反距离加权插值法能够更好适应地形起伏，插值效果良好，可以获得比较精确的湖泊地形数据，对湖泊研究和管理具有积极作用。
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图 2 太湖地形采样点局部起伏分布
Figure 2. Local undulation distribution map of Taihu Lake terrain sampling points
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图 3 L25(53)正交表区域幂值选优方案组合
Figure 3. L25(53) orthogonal table region power selection scheme combination
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图 4 太湖湖底地形空间展布
Figure 4. Spatial distribution of topography at the bottom of Taihu Lake
表 1 4种空间插值方法的误差分析结果（高程）
Table 1 Error analysis results of four spatial interpolation methods (elevation)
插值方法 高程平均值/m 最大相对误差/% 均方根误差/m 实测高程 −0.635 / / 分区域反距离加权法 −0.637 93.24 0.144 反距离加权法 −0.642 73.31 0.175 克里金法 −0.640 89.42 0.178 自然邻域法 −0.647 85.61 0.165 
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表 2 多种方法插值结果误差分析（库容）
Table 2 Error analysis of interpolation results by various methods (storage capacity)
插值方法 最大相对误差/% 平均相对误差/% 均方根误差/亿m3 分区域反距离加权法 9.65 7.70 2.34 反距离加权法 16.29 8.67 2.47 克里金法 14.69 8.60 2.48 自然邻域法 16.26 9.07 2.72
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