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椭圆余弦波对V形防波堤绕射波浪力的解析计算

才瀚涛 黄华 詹杰民

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椭圆余弦波对V形防波堤绕射波浪力的解析计算

    作者简介: 才瀚涛(1994—),男,江西南昌人,硕士研究生,主要从事水动力学研究。E-mail:841067641@qq.com.
    通讯作者: 黄华(E-mail:tsyhh1982@163.com); 
  • 基金项目: 国家重点项目(41407010501编号对吗???);中央高校基本科研业务费专项基金资助(No.17lgjc41)
  • 中图分类号: O353

Analytical calculation of cnoidal wave diffracted force on a V-shaped breakwater

    Corresponding author: HUANG Hua, tsyhh1982@163.com;
  • 摘要: 应用椭圆余弦波理论,给出了V形薄壁防波堤的浅水波绕射理论解,对现有Airy微幅波理论进行了有效拓展。通过对V形防波堤的浅水波浪力进行试算,揭示了椭圆余弦波对防波堤的作用规律。计算结果表明:椭圆余弦波理论计算的V形防波堤的最大无量纲波浪力明显大于相同浅水条件下Airy微幅波理论的对应结果,并且,该方法有效拓展了无限长直立薄壁堤的反射波理论。此外,浅水波入射角、V形堤张角和防波堤臂长与水深比等参数的变化均将对V形堤的波浪作用产生相关影响,而V形堤的实际绕射波浪力幅值将随浅水波特征参数值的增加而增加。
  • 图  1  椭圆余弦波作用下的V形固立防波堤

    Figure  1.  Cnoidal wave diffracted by V shaped breakwater

    图  2  与无限长密实直墙堤的中心线剖面的比较

    Figure  2.  Comparation of central profile with infinite long solid wall($\lambda = 1,a = 1000,d = 2,\alpha = {\rm{\pi }},\beta {\rm{ = \pi }}/2$)

    图  3  不同臂长水深比下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

    Figure  3.  Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio$\left( {\beta = {\rm{\pi }}/3,\lambda {\rm{ = }}3,\alpha {\rm{ = }}2{\rm{\pi }}/3} \right)$

    图  4  不同臂长水深比下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

    Figure  4.  Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio$\left( {\beta = {\rm{\pi }}/2,\lambda {\rm{ = }}3,\alpha {\rm{ = \pi }}} \right)$

    图  5  不同来波入射角下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

    Figure  5.  Maximum dimensionless wave force for different incident angles$\left( {\lambda = 3,d/a = 1/5,\alpha = 2{\rm{\pi }}/3} \right)$

    图  6  不同入射角下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

    Figure  6.  Maximum dimensionless wave force for different incident angles$\left( {\lambda = 3,d/a = 1/5,\alpha {\rm{ = \pi }}} \right)$

    图  7  不同张角下V形堤的最大无量纲波浪力随$kd$的变化

    Figure  7.  Maximum dimensionless wave force for different opening angles of the breakwater (λ=3,d/a=1/5,β=π/4,π/3,π/2)

    图  8  不同$kd$下最大无量纲波浪力随浅水波特征参数$\lambda $的变化

    Figure  8.  Maximum dimensionless wave force for different characteristic parameters of shallow water (β=π/3,α=2π/3, d/a=1/5)

    图  9  椭圆余弦波与Airy波所对应的最大无量纲波浪力的比较

    Figure  9.  Comparation of maximum dimensionless wave force for cnoidal wave and airy wave (β=π/3,λ=3,d/a=1/5,α=2π/3)

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出版历程
  • 收稿日期:  2019-06-08

椭圆余弦波对V形防波堤绕射波浪力的解析计算

    通讯作者: 黄华, tsyhh1982@163.com
    作者简介: 才瀚涛(1994—),男,江西南昌人,硕士研究生,主要从事水动力学研究。E-mail:841067641@qq.com
  • 中山大学 航空航天学院 应用力学与工程系,广东 广州 510275

摘要: 应用椭圆余弦波理论,给出了V形薄壁防波堤的浅水波绕射理论解,对现有Airy微幅波理论进行了有效拓展。通过对V形防波堤的浅水波浪力进行试算,揭示了椭圆余弦波对防波堤的作用规律。计算结果表明:椭圆余弦波理论计算的V形防波堤的最大无量纲波浪力明显大于相同浅水条件下Airy微幅波理论的对应结果,并且,该方法有效拓展了无限长直立薄壁堤的反射波理论。此外,浅水波入射角、V形堤张角和防波堤臂长与水深比等参数的变化均将对V形堤的波浪作用产生相关影响,而V形堤的实际绕射波浪力幅值将随浅水波特征参数值的增加而增加。

English Abstract

  • 防波堤在近岸与离岸工程中用于抵抗波浪作用,从而对海工设施和海上作业水域实施保护。防波堤类型广泛,常见类型包括直立直墙式防波堤、岛式防波堤、梳式防波堤、斜坡式防波堤、T形防波堤、潜堤、圆弧型防波堤以及V形防波堤等。Stokes[1]推导了半无限长薄壁单突堤的波浪绕射解析解形式。Lick[2]解析探讨了楔形堤的微幅波绕射问题。洪广文[3]对不完全反射边界楔形堤和隅角堤的波浪绕射问题展开了理论分析。何军等[4]对T型防波堤与波浪的相互作用进行了数值计算。胡宝琳等[5]对半圆型潜堤所受波压作用展开了数值模拟研究。朱梦华等[6-7]分别解析计算了椭圆余弦波对无限长直墙防波堤的波浪反射与透射作用以及波浪引起的防波堤底部的渗流作用。楚玉川等[8]对Airy微幅波作用于单层圆弧型薄壁防波堤的绕射波浪力进行了解析研究。张敖等[9-10]分别应用椭圆余弦波和孤立波一阶模型推导并理论计算了浅水波对圆弧型防波堤的绕射力与波面。蒋学炼等[11]基于微幅波对单突堤的绕射解析理论,提出了单突堤总波浪力相位差修正公式,探讨了波浪力和波高的沿堤波动。V形防波堤在美国首次提出并构建,其目的主要为建造可临时快速构建和撤收的结构系统。它具有建造方便省料和使用便捷且防浪效果良好等优点。Kao等[12]数值研究了微幅波作用下的V形防波堤的防浪效应。

    本文基于椭圆余弦波的浅水波模型,推导了任意张角下V形防波堤的波浪绕射解析解,从而将现有的Airy波模型和相应的各种结果加以了有效拓展。此外,本文方法将现有的无限长薄壁直墙堤对应的浅水波反射理论进行了重要拓展。

    • 设在均匀水深为$d$的海域中设置有两臂长均为$a$的V形固立防波堤(图1),取坐标系$oxyz$(即坐标系$or\theta z$),$oxy$平面位于水底,原点位于堤的两臂相交点,$ox$正轴与下臂重合,两臂张角(即夹角)为$\alpha $,其中$0 < \alpha \leqslant {\rm{\pi }}$$oz$轴垂直向上。入射波为浅水波中的椭圆余弦波一阶分量,入射角(与$ox$轴正向夹角)为$\beta $。以$a$为半径划一圆柱面,将流场划分为圆柱外流区${\Omega _0}$和圆柱内流区${\Omega _1}$${\Omega _2}$图1)。

      图  1  椭圆余弦波作用下的V形固立防波堤

      Figure 1.  Cnoidal wave diffracted by V shaped breakwater

      设水波总速度${\rm{\Phi = }}{{\rm{\Phi }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{\Phi }}_{\rm{s}}}{\rm{ = Re(\varphi ) = Re(}}{{\rm{\varphi }}_{\rm{i}}}{\rm{ + }}{{\rm{\varphi }}_{\rm{s}}}{\rm{)}}$,其中Re是对括号内取实部,${\varphi _i}$为入射波势,${\varphi _{\rm{s}}}$为散射波势。则有

      $${\nabla ^2}\varphi = {\nabla ^2}{\varphi _i} = {\nabla ^2}{\varphi _s} = 0$$ (1)
      $$\frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = \frac{{\partial {\varphi _i}}}{{\partial z}} = \frac{{\partial {\varphi _s}}}{{\partial z}} = 0\;\;\;\;\;\; (z = 0)$$ (2)
      $$\frac{{\partial \eta }}{{\partial t}} + \frac{{\partial \eta }}{{\partial x}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \eta }}{{\partial y}}\frac{{\partial \varphi }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \varphi }}{{\partial z}} = 0{\rm{ }}(z = d + \eta )$$ (3)
      $$\frac{{\partial \varphi }}{{\partial t}} + \frac{1}{2}{(\nabla \varphi )^2} + g\eta = 0{\rm{ }}(z = d + \eta )$$ (4)

      另,$\varphi $须满足V形防波堤物面条件,${\varphi _{\rm{s}}}$须满足径向无穷远处的辐射条件。入射角为$\beta $的一阶入射椭圆余弦波的波势[8]可表达为

      $$\begin{split} \varphi _i^{} = & \frac{{H\sqrt {gd} }}{{kd}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{A_n}}}{{in}}} {e^{in(kx - \omega t)}}{\rm{ }} = \frac{{H\sqrt {gd} }}{{kd}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{A_n}}}{{in}}} \left[ {\sum\limits_{m = 0}^\infty {{\beta _m}{J_m}(nkr)\cos (m\theta } )} \right]{e^{ - in\omega t}}\\ & \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{({\beta _0} = 1;{\beta _m} = 2{i^m},m = 1,2, \cdots )} \end{array} \end{split}$$ (5)

      其中,已利用贝塞尔母函数推广公式:

      $${e^{inkx}}{\rm{ = }}\sum\limits_{m = 0}^\infty {{\beta _m}{J_m}(nkr)\cos (m\theta )} ,({\beta _0} = 1;{\beta _m} = 2{i^m},m = 1,2, \cdots )$$

      式中:${A_n} = \dfrac{{2{{\text{π}}^2}}}{{{\kappa ^2}{K^2}(\kappa )}}\left( {\dfrac{{nb_0^n}}{{1 - b_0^{2n}}}} \right)$${b_0} = {e^{ - {\text{π}} \frac{{K(\kappa ')}}{{K(\kappa )}}}}$$K(\kappa )$为第一类完全椭圆积分且${\kappa '^2} = 1 - {\kappa ^2}$,而模量$\kappa $由方程${\kappa ^2}{K^2}(\kappa ) = 3{{\text{π}}^2}H/(4{k^2}{d^3})$确定。此外,对于流域${\Omega ^{(0)}}$,依照一阶波绕射理论可推知:若设该流域散射波势$\varphi _s^{(0)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\varphi _{sn}^{(0)}} $,则$\varphi _{sn}^{(0)}$相当于散射波的第$n$个谐波势,在无穷远处应满足Sommerfeld条件:

      $$ \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } {r^{\frac{1}{2}}}\left[ {\frac{{\partial \varphi _{sn}^{(0)}}}{{\partial r}} - i{k_n}\varphi _{sn}^{(0)}} \right] = 0 $$ (6)

      由此若取对应流域${\Omega ^{(j)}}$的椭圆余弦波总波势为${\Phi ^{(j)}} = {\Phi _{\rm{i}}} + \Phi _{\rm{s}}^{(j)} = {\rm{Re}}({\varphi ^{(j)}})$$\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(j = 0,1,2)$,则由特征函数数展开法,可取:

      $$\begin{split} {\varphi ^{(0)}} = & {\varphi _{\rm{i}}} + \varphi _{\rm{s}}^{(0)} = \frac{{H\sqrt {gd} }}{{kd}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{A_n}}}{{in}}} {e^{ - in\omega t}}\sum\limits_{m = 0}^\infty {\{ {\beta _m}{J_m}(nkr)} \times \\ & {\rm{ }}\left[ {\cos (m\theta )\cos (m\beta ) + \sin (m\theta )\sin (m\beta )} \right] + H_m^{(1)}(nkr)[A_{nm}^{(0)}\cos (m\theta ) + B_{nm}^{(0)}\sin (m\theta )]\} \end{split} $$ (7)
      $${\varphi ^{(1)}} = \frac{{H\sqrt {gd} }}{{kd}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{A_n}}}{{in}}} {e^{ - in\omega t}}{\rm{ }} \times \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(1)}{J_{\frac{{m{\text{π}}}}{\alpha }}}(nkr)\cos \left(\frac{{m{\text{π}}}}{\alpha }\theta \right)} ,\;{\rm{ }}(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha )$$ (8)
      $${\varphi ^{(2)}} = \frac{{H\sqrt {gd} }}{{kd}}\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{{A_n}}}{{in}}} {e^{ - in\omega t}} \times \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(2)}{J_{\frac{{m{\text{π}}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}}}(nkr)\cos \left[ {\frac{{m{\text{π}}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}(\theta - \alpha )} \right]} ,\begin{array}{*{20}{c}} {}&{(\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\text{π}})} \end{array}$$ (9)

      式中:$A_{nm}^{(0)}$$A_{nm}^{(1)}$$A_{nm}^{(2)}$$B_{nm}^{(0)}$均为待定系数且取$B_{n0}^{(0)} = 0$。可以验证,所取波势解已满足方程、海底条件、无穷远处辐射条件和防波堤V形两臂侧表面法向速度为零的物面条件。

      将各区圆柱交界面径向质点速度和压强连续条件统一写为:

      $$\frac{{\partial {\varphi ^{(0)}}}}{{\partial r}} = \frac{{\partial {\varphi ^{(1)}}}}{{\partial r}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(r = a,0 \leqslant \theta \leqslant \alpha )$$ (10)
      $$\frac{{\partial {\varphi ^{(0)}}}}{{\partial r}} = \frac{{\partial {\varphi ^{(2)}}}}{{\partial r}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(r = a,\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\rm{\pi }}){\rm{ }}$$ (11)
      $${\varphi ^{(0)}} = {\varphi ^{(1)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(r = a,0 \leqslant \theta \leqslant \alpha ){\rm{ }}$$ (12)
      $${\varphi ^{(0)}} = {\varphi ^{(2)}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(r = a,\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\rm{\pi }})$$ (13)

      由式(10)和(11),可设并可得:

      $$ \begin{split} {f_1}(\theta ) = & \sum\limits_{m = 0}^\infty {\{ [nk{\beta _m}\cos (m\beta ){{J'}_m}(nka)} {\rm{ }} + A_{nm}^{(0)}nkH{_m^{(1)'} }(nka)]\cos (m\theta ) + [nk{\beta _m} \times \sin (m\beta ){{J'}_m}(nka) + \\ & B_{nm}^{(0)}nkH{_n^{(1)'} }(nka)]\sin (m\theta )\} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(1)}} nk{{J'}_{\frac{{m{\text{π}} }}{\alpha }}}(nka)\cos (\frac{{m{\text{π}}}}{\alpha }\theta ) = 0,\quad(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha ) \end{split} $$ (14)
      $$ \begin{split} {f_2}(\theta ) = & \sum\limits_{m = 0}^\infty {\{ [nk{\beta _m}\cos (m\beta ){{J'}_m}(nka)} {\rm{ }} + A_{nm}^{(0)}nkH{_m^{(1)'} }(nka)]\cos (m\theta ) + [nk{\beta _m} \times \sin (m\beta ){{J'}_m}(nka) + \\ & B_{nm}^{(0)}nkH{_m^{(1)'} }(nka)]\sin (m\theta )\} {\rm{ }} -\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(2)}} nk{{J'}_{\frac{{m{\text{π}}}}{{2\text{π} - \alpha }}}}(nka)\cos \left[ {\frac{{m{\text{π}}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}(\theta - \alpha )} \right] = 0,\quad (\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\text{π}}) \end{split} $$ (15)

      式中:取$B_{n0}^{(0)} = 0$。进一步可设

      $$ f(\theta ) = \left\{ \begin{split} & {f_1}(\theta ),0 \leqslant \theta < \alpha \\ & {f_2}(\theta ),\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\text{π}} \end{split} \right. = 0 $$ (16)

      $f(\theta )$$0 \sim 2{\rm{\pi }}$上展开为傅氏级数,即

      $$ f(\theta ) = \frac{{{a_0}}}{2} + \sum\limits_{l = 1}^\infty {\left[ {{a_l}\cos (l\theta ) + {b_l}\sin (l\theta )} \right] = 0} {\rm{ }} $$ (17)

      ${a_0} = {a_l} = {b_l} = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(l = 1,2,3 \cdots )$,相应有:

      $$ \int_0^\alpha {{f_1}} (\theta )\cos (l\theta ){\rm{d}}\theta + \int_\alpha ^{2{\text{π}}} {{f_2}} (\theta )\cos (l\theta ){\rm{d}}\theta = 0 \quad (l = 0,1,2 \cdots ) $$ (18)
      $$ \int_0^\alpha {{f_1}} (\theta )\sin (l\theta ){\rm{d}}\theta + \int_\alpha ^{2{\text{π}}} {{f_2}} (\theta )\sin (l\theta ){\rm{d}}\theta = 0\quad (l = 1,2,3 \cdots ) $$ (19)

      代入${f_1}(\theta )$${f_2}(\theta )$,分别可得系数方程为:

      $$ \begin{split} & nk{\beta _l}\cos l\beta {{J'}_l}(nka)(1 + {\delta _{l0}}){\rm{\pi }} + A_{nl}^{(0)}nkH{_l^{(1)'} }(nka)(1 + {\delta _{l0}}){\rm{\pi }} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(1)}} k{{J'}_{\frac{{m{\rm{\pi }}}}{\alpha }}}(nka)T_{ml}^{(1)} - {\rm{ }} \\ & \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(2)}n} k{{J'}_{\frac{{m{\rm{\pi }}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}}}(nka)T_{ml}^{(2)} = 0 \quad {(l = 0,1,2 \cdots )} \end{split} $$ (20)
      $$ \begin{split} & nk{\beta _l}\sin l\beta {{J'}_l}(nka){\text{π}} + nkB_{nl}^{(0)}H{_l^{(1)'} }(nka){\text{π}} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(1)}n} k{{J'}_{\frac{{m{\text{π}}}}{\alpha }}}(nka)T_{ml}^{(3)} - \\ & \sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(2)}} nk{{J'}_{\frac{{m{\text{π}}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}}}(nka)T_{ml}^{(4)} = 0\quad (l = 1,2,3 \cdots ) \end{split} $$ (21)

      其中,

      $$ \left\{ \begin{split} & T_{ml}^{(1)} = \int_0^\alpha {\cos (l\theta )} \cos \left(\frac{{m{\text{π}}}}{\alpha }\theta \right){\rm{d}}\theta ;\\ & T_{ml}^{(2)} = \int_\alpha ^{2{\text{π}}} {\cos (l\theta )} \cos \left[ {\frac{{m{\text{π}}}}{{2{\text{π}} - \alpha }}(\theta - \alpha )} \right]{\rm{d}}\theta \end{split} \right.\quad(m,l = 0,1,2 \cdots ) $$ (22)
      $$ \left\{ \begin{split} & T_{ml}^{(3)} = \int_0^\alpha {\sin (l\theta )\cos \left(\frac{{m{{\text{π} }}}}{\alpha }\theta \right){\rm{d}}\theta } \\ & T_{ml}^{(4)} = \int_\alpha ^{2\text{π} } {\sin (l\theta )\cos \left[ {\frac{{m{{\text{π} }}}}{{2{\rm{\text{π} }} - \alpha }}(\theta - \alpha )} \right]{\rm{d}}\theta } \end{split} \right.\quad(m = 0,1,2 \cdots ;l = 1,2,3 \cdots ) $$ (23)

      进一步应用边界条件式(12)和式(13)分别可得:

      $$ \begin{split} &{\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(1)}} {J_{\frac{{m\text{π} }}{\alpha }}}(nka)\cos (\frac{{m\text{π} }}{\alpha }\theta ) - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left\{ {[{\beta _m}\cos m\beta {J_m}(nka)} \right.} + A_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)]\cos (m\theta ) + }\\ & {\left. {[{\beta _m}\sin (m\beta ){J_m}(nka) + B_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)]\sin (m\theta )} \right\} = 0\;\;\;\;\;\;\;(0 \leqslant \theta \leqslant \alpha )} \end{split} $$ (24)
      $$ \begin{split} & {\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(2)}} {J_{\frac{{m\text{π} }}{{2\text{π} - \alpha }}}}(nka)\cos \left[ {\frac{{m\text{π} }}{{2\text{π} - \alpha }}(\theta - \alpha )} \right] - \sum\limits_{m = 0}^\infty {\left\{ {[{\beta _m}\cos m\beta {J_m}(nka} \right.)} + A_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)]\cos (m\theta ) + }\\ & {\left. {[{\beta _m}\sin (m\beta ){J_m}(nka) + B_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)]\sin (m\theta )} \right\} = 0\;\;\;\;\;\;(\alpha \leqslant \theta \leqslant 2\text{π} )} \end{split} $$ (25)

      再分别利用函数系$\{ \cos \dfrac{{m{\text{π}}}}{\alpha }\theta ,0 \leqslant \theta \leqslant \alpha \} $以及函数系$\{ \cos \dfrac{{m{\\text{π}}}}{{2{\\text{π}} - \alpha }}(\theta - \alpha ),\alpha \leqslant \theta \leqslant 2{\rm{\pi }}\} $的正交性,可得:

      $$ \begin{split} & {A_{nl}^{(1)}{J_{\frac{{l\pi }}{\alpha }}}(ka)(1 + {\delta _{l0}})\frac{\alpha }{2} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\beta _m}\cos (m\beta ){J_m}(nka)T_{lm}^{(1)}} - \sum\limits_{m = 1}^\infty {{\beta _m}} \sin (m\beta ){J_m}(nka)T_{lm}^{(3)} - }\\ & {\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)} T_{lm}^{(1)} - \sum\limits_{m = 1}^\infty {B_{nm}^{(0)}} H_m^{(1)}(nka)T_{lm}^{(3)} = 0\;\;\;\;\;\;(l = 0,1,2 \cdots )} \end{split} $$ (26)
      $$ \begin{split} & {A_{nl}^{(2)}{J_{\frac{{l\pi }}{{2\pi - \alpha }}}}(nka)(1 + {\delta _{l0}})\frac{{2\pi - \alpha }}{2} - \sum\limits_{m = 0}^\infty {{\beta _m}\cos (m\beta ){J_m}(nka)T_{lm}^{(2)}} - \sum\limits_{m = 1}^\infty {{\beta _m}} \sin (m\beta ){J_m}(nka)T_{lm}^{(4)} - }\\& {\sum\limits_{m = 0}^\infty {A_{nm}^{(0)}H_m^{(1)}(nka)} T_{lm}^{(2)} - \sum\limits_{m = 1}^\infty {B_{nm}^{(0)}} H_m^{(1)}(nka)T_{lm}^{(4)} = 0\;\;\;\;\;\;\;\;(l = 0,1,2 \cdots )} \end{split} $$ (27)

      方程(20),(21),(26)和(27)构成了未知系数$A_{nm}^{(0)}$$A_{nm}^{(1)}$$A_{nm}^{(2)}$$B_{nm}^{(0)}$的无限维完备代数联立方程组,其中取$B_{n0}^{(0)} = 0$。实算中进行适度有限维运算即可满足计算精度要求。

      对应浅水波绕射波浪场流域${\Omega _j}$的波面公式为:

      $$ {\eta ^{({\rm{j}})}} = - \frac{1}{g}\frac{{\partial {\Phi ^{(j)}}}}{{\partial t}}\left| {_{z = d}} \right. = {\mathop{\rm Re}\nolimits} (\eta _0^{(j)})\;\;\;\;(j = 0,1,2) $$ (28)

      对应浅水波绕射波浪场流域${\Omega _j}$的压力分布公式为:

      $${P^{(j)}} = - \rho \frac{{\partial {\Phi ^{(j)}}}}{{\partial t}} = \operatorname{Re} ({p^{(j)}})\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}(j = 0,1,2)$$ (29)

      据此可得作用于防波堤上臂的波浪力分量积分公式:

      $${F_{1x}} = \int_0^d {{\rm{d}}z} \int_0^a {[{P^{(2)}} - {P^{(1)}}]\left| {_{\theta = \alpha }} \right.\sin \alpha {\rm{d}}r} {\rm{ }}$$ (30)
      $${F_{1y}} = - \int_0^d {{\rm{d}}z} \int_0^a {[{P^{(2)}} - {P^{(1)}}]\left| {_{\theta = \alpha }} \right.\cos \alpha {\rm{d}}r} {\rm{ }}$$ (31)

      以及防波堤下臂的波浪力分量积分公式:

      $${F_{2x}} = 0{\rm{ }}$$ (32)
      $${F_{2y}} = \int_0^d {{\rm{d}}z} \int_0^a {[{P^{(2)}}\left| {_{\theta = 2{\rm{\pi }}}} \right. - {P^{(1)}}\left| {_{\theta = 0}} \right.]{\rm{d}}r} $$ (33)

      上臂和下臂的总波浪力为:

      $$\left\{ \begin{split} & {F_x} = {F_{1x}} + {F_{2x}} \\ & {F_y} = {F_{1y}} + {F_{2y}} \\ & F = \sqrt {F_x^2 + F_y^2} \end{split} \right.$$ (34)

      进一步可给出V形堤总波浪力矩公式:

      $$\left\{ \begin{split} & {M_x} = {M_{1x}} = \frac{d}{2}{F_x} \\ & {M_y} = {M_{1y}} + {M_{2y}} = \frac{d}{2}({F_{1y}} + {F_{2y}}) = \frac{d}{2}{F_y} \end{split} \right.$$ (35)

      其中,下标$x$$y$分别对应绕$Oy$轴和$Ox$轴的水平波浪力矩。

    • 在以下计算的各图中规定符号$F/\rho g(H/2)ad$$M/\rho g(H/2)a{d^2}$分别表示V形防波堤的无量纲总波浪力和力矩幅值。由于无量纲波浪力矩值为无量纲波浪力值的一半(见式(35)),故仅需对无量纲波浪力进行计算即可。在计算中引入椭圆余弦波特征参数$\lambda {\rm{ = 4}}{\kappa ^2}K(\kappa ){\rm{/3}}{{\rm{\pi }}^2} = H/({k^2}{d^3})$(斜杠/后面的字母要加()么?$\lambda {\rm{ = 4}}{\kappa ^2}K(\kappa ){\rm{/(3}}{{\rm{\pi }}^2}) = H/({k^2}{d^3})$请检查全文中其他类似情况),它能够反映浅水波波浪参数与水深相对变化对波浪作用的综合影响效应。

      在本文计算式中取V形堤张角为${\rm{\pi }}$,进一步取有限长直墙薄壁密实防波堤堤长足够大,从而与文献[5]中涉及无限长直墙薄壁密实防波堤在水波正入射条件下的最大波面分布的相关计算进行验证比较。图2为与文献[5]所涉及的在相同参数条件下最大波面分布中心轴线剖面图的相关计算资料的比对结果,图中取符号$\eta /H$为无量纲化最大波面。图2表明计算结果完全吻合,说明本文方法正确可靠。

      图  2  与无限长密实直墙堤的中心线剖面的比较

      Figure 2.  Comparation of central profile with infinite long solid wall($\lambda = 1,a = 1000,d = 2,\alpha = {\rm{\pi }},\beta {\rm{ = \pi }}/2$)

      图3为不同臂长水深比下张角为$2{\rm{\pi }}/3$的V形堤在来波正入射下($\beta {\rm{ = 2\pi }}/3$)最大无量纲波浪力随$kd$的变化曲线。由图3可见,当$0.5 < kd < 3$时,最大无量纲波浪力随臂长水深比的增大而减小,当$kd > 3$$kd < 0.5$时,最大无量纲波浪力随臂长水深比变化呈交错变化。

      图  3  不同臂长水深比下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

      Figure 3.  Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio$\left( {\beta = {\rm{\pi }}/3,\lambda {\rm{ = }}3,\alpha {\rm{ = }}2{\rm{\pi }}/3} \right)$

      图4为不同臂长水深比下张角为${\rm{\pi }}$的V形堤在来波正入射下($\beta {\rm{ = \pi }}/2$)最大无量纲波浪力随$kd$的变化曲线。从图4结果可知,当$kd$较小时($kd < 0.4$),最大无量纲波浪力随着臂长水深比的增加而略有增加,之后小幅交错变换至$kd > 2$,对应值随着臂长水深比的增加而略有减小。与张角为$2{\rm{\pi }}/3$的V形堤相比,张角为${\rm{\pi }}$的V形堤的无量纲波浪力幅值受臂长水深比的影响明显要小许多。

      图  4  不同臂长水深比下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

      Figure 4.  Maximum dimensionless wave force for different arm length-water depth ratio$\left( {\beta = {\rm{\pi }}/2,\lambda {\rm{ = }}3,\alpha {\rm{ = \pi }}} \right)$

      图5为不同来波入射角下张角为$2{\rm{\pi }}/3$的V形堤的无量纲波浪力幅值随$kd$的变化趋势。如图5所示,当$kd < 0.7$时,无量纲波浪力幅值随入射角$\;\beta $的增大而减小,当$kd > 0.7$时,对应值呈现交错变化。

      图  5  不同来波入射角下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

      Figure 5.  Maximum dimensionless wave force for different incident angles$\left( {\lambda = 3,d/a = 1/5,\alpha = 2{\rm{\pi }}/3} \right)$

      图6为不同来波入射角下张角为${\rm{\pi }}$的V形堤的无量纲波浪力幅值随$kd$的变化趋势。如图6所示,随着入射角$\beta $的增大最大无量纲波浪力随之减小。正入射($\beta = {\rm{\pi }}/2$)对应的无量纲波浪力幅值最大,且$kd > 1$时其值远大于斜入射情形的对应值。

      图  6  不同入射角下最大无量纲波浪力随$kd$的变化

      Figure 6.  Maximum dimensionless wave force for different incident angles$\left( {\lambda = 3,d/a = 1/5,\alpha {\rm{ = \pi }}} \right)$

      图7为不同张角下正入射波对同臂长V形堤的无量纲波浪力幅值随$kd$的变化趋势。图7表明:不同张角下正入射波对同臂长V形堤的无量纲波浪力幅值随张角的增大而明显增大,张角为${\rm{\pi }}$的V形堤对应最大无量纲波浪力幅值。

      图  7  不同张角下V形堤的最大无量纲波浪力随$kd$的变化

      Figure 7.  Maximum dimensionless wave force for different opening angles of the breakwater (λ=3,d/a=1/5,β=π/4,π/3,π/2)

      图8为不同kd下张角为$2{\rm{\pi }}/3$的V形堤最大无量纲波浪力随浅水波特征参数$\lambda $的变化趋势。由图8可知,当$\lambda < 2$时,相对浅水条件($kd = 0.5$)的无量纲波浪力幅值随$\lambda $增加而略增,随后随$\lambda $略为单调减小。而对应$kd$的另外2个取值,无量纲波浪力幅值均随$\lambda $增加而略减至保持不变。按照$\lambda {\rm{ = }}(H/d)/{(kd)^2}$,当$kd$和V形堤臂长a不变条件下(由于$d = a/5$,相应水深不变),则随$\lambda $增大,波高H增大。由最大无量纲波浪力表达式$F/[\rho g(H/2)ad]$,可见实际最大波浪力将随$\lambda $(即H)增大而明显增大。此外,图8还表明,当$\lambda $一定时,随$kd$的减小无量纲波浪力幅值增加。

      图  8  不同$kd$下最大无量纲波浪力随浅水波特征参数$\lambda $的变化

      Figure 8.  Maximum dimensionless wave force for different characteristic parameters of shallow water (β=π/3,α=2π/3, d/a=1/5)

      图9为相同浅水条件下椭圆余弦波与Airy微幅波对张角为$2{\rm{\pi }}/3$的V型防波堤的最大无量纲波浪力的比较。由图9可见,椭圆余弦波模型和Airy波模型分别计算的防波堤最大无量纲波浪力随参数$kd$的变化趋势大致相同。椭圆余弦波理论所算结果明显高于Airy波理论的对应值,说明在一定浅水条件下采用椭圆余弦波模型十分必要。

      图  9  椭圆余弦波与Airy波所对应的最大无量纲波浪力的比较

      Figure 9.  Comparation of maximum dimensionless wave force for cnoidal wave and airy wave (β=π/3,λ=3,d/a=1/5,α=2π/3)

    • 本文引入椭圆余弦波一阶分量模型,针对V形防波堤的经典结构形式,应用特征函数展开法,对浅水波的绕射问题展开解析研究,从而将Airy微幅波的对应理论加以有效拓展。主要结论有:

      (1)将无限长直立薄壁堤的浅水波反射理论加以了有效拓展。通过计算来波正入射下足够长张角${\rm{\pi }}$直墙薄壁密实堤的最大绕射波面,与相同条件下无限长直墙密实堤的正反射最大波面结果加以比较,两者结果吻合良好,说明本文方法合理可靠。

      (2)利用椭圆余弦波理论计算所得的V形防波堤的最大无量纲波浪力(矩)明显大于相同浅水条件下Airy微幅波波理论的对应结果,说明在一定的浅水条件,采用本文的浅水波V形堤绕射理论更为合理可靠。

      (3)浅水波入射角、V形堤张角以及臂长水深比等因素的相对变化对V形堤的波浪绕射作用均存在一定影响。V形堤的椭圆余弦波实际绕射波浪力幅值随浅水波特征参数的增加而增加。

参考文献 (12)

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