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基于RBF代理模型和粒子群算法的水交换优化研究

戚蓝 郑诗豪 张丛林

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基于RBF代理模型和粒子群算法的水交换优化研究

    作者简介: 戚 蓝(1955—),女,山东威海人,教授,主要从事水工结构和流体分析方面的研究。E-mail:lanqi0000@163.com.
    通讯作者: 张丛林(E-mail:zhangconglin@casisd.cn
  • 基金项目: 国家重点研发计划资助项目(2018YFC0406901);国家自然科学基金青年基金项目(71503245)
  • 中图分类号: TV131.2

Optimization of water exchange based on RBF surrogate model and particle swarm optimization

    Corresponding author: ZHANG Conglin, zhangconglin@casisd.cn
  • 摘要: 良好的水交换对改善水环境、提高水域周边景观效果等具有十分重要的作用。而引水置换的方法对促进水交换效果显著,但利用数值模拟进行水交换研究耗时长、效率低,且人为改变参数的局限性大,不利于寻找最优的换水方案。为解决这一问题,基于径向基函数(简称RBF)代理模型建立水交换优化模型,并通过粒子群算法求最优解。以某人工岛游艇别墅区港池初拟方案为例,验证该方法的可行性和优越性。算例结果表明:(1)构建的基于RBF代理模型的水交换优化模型精度较高;(2)基于RBF代理模型的水交换优化模型计算1次所需时间量级为秒,而传统数值模拟计算的量级为小时;(3)通过粒子群算法,对建立的基于RBF代理模型的水交换优化模型求解,得到研究区域的最优换水方案。上述最优方案的结果与MIKE21水动力和对流扩散模型的计算结果相符。
  • 图  1  人工岛和游艇别墅区示意

    Figure  1.  Artificial island and yacht villa area

    图  2  人工岛整体模型

    Figure  2.  Artificial island overall model

    图  3  港池独立模型

    Figure  3.  Harbor independent model

    图  4  测点布置

    Figure  4.  Measuring point layout

    图  5  测试集平均水位与预测结果相关性分析

    Figure  5.  Correlation analysis between average water level in test set and prediction results

    图  6  每代最优适应度值变化曲线

    Figure  6.  Optimal fitness value curve for each generation

    图  7  初始方案引水结束46 h污染物浓度

    Figure  7.  Concentration of pollutants after the initial water diversion scheme for 46 h

    图  8  最优方案引水结束46 h污染物浓度

    Figure  8.  Concentration of pollutants after the optimalwater diversion scheme for 46 h

    表  1  潮位资料

    Table  1.   Tidal level data

    时刻11:0011:2011:3012:0012:3013:0013:3014:0014:3014:4815:00
    潮位(m)−1.50−1.00−0.450.000.501.001.431.892.302.502.63
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    表  2  人工岛内河道各测点最大流速统计

    Table  2.   Maximum flow rate statistics of various measuring points in rivers in artificial islands m/s

    测点实测速度模拟速度测点实测速度模拟速度
    d1 0.74 0.70 d4 0.39 0.35
    d2 0.38 0.35 d5 0.90 0.86
    d3 0.46 0.41 d6 0.99 1.00
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    表  3  引水方案样本及数值模拟结果

    Table  3.   Water diversion scheme and numerical simulation results

    样本开闸时刻引水时长/min引水结束最高水位/m引水结束最低水位/m平均水位/m46 h污染物平均浓度/%
    1 13:00 20 1.285 1.251 1.279 98.476
    2 13:00 40 1.589 1.558 1.573 93.695
    3 13:00 60 1.890 1.839 1.884 88.827
    4 13:00 80 2.179 2.153 2.171 84.787
    $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
    43 14:30 30 6.575 5.107 5.919 52.568
    44 14:40 20 7.323 5.632 6.649 49.389
    45 14:50 10 4.093 3.263 3.906 66.399
    46 14:55 5 2.508 1.700 2.258 83.524
    下载: 导出CSV
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-07-24

基于RBF代理模型和粒子群算法的水交换优化研究

    通讯作者: 张丛林, zhangconglin@casisd.cn
    作者简介: 戚 蓝(1955—),女,山东威海人,教授,主要从事水工结构和流体分析方面的研究。E-mail:lanqi0000@163.com
  • 1. 天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室,天津 300072
  • 2. 中国科学院科技战略咨询研究院,北京 100910

摘要: 良好的水交换对改善水环境、提高水域周边景观效果等具有十分重要的作用。而引水置换的方法对促进水交换效果显著,但利用数值模拟进行水交换研究耗时长、效率低,且人为改变参数的局限性大,不利于寻找最优的换水方案。为解决这一问题,基于径向基函数(简称RBF)代理模型建立水交换优化模型,并通过粒子群算法求最优解。以某人工岛游艇别墅区港池初拟方案为例,验证该方法的可行性和优越性。算例结果表明:(1)构建的基于RBF代理模型的水交换优化模型精度较高;(2)基于RBF代理模型的水交换优化模型计算1次所需时间量级为秒,而传统数值模拟计算的量级为小时;(3)通过粒子群算法,对建立的基于RBF代理模型的水交换优化模型求解,得到研究区域的最优换水方案。上述最优方案的结果与MIKE21水动力和对流扩散模型的计算结果相符。

English Abstract

  • 随着经济社会的发展,良好的水环境日益成为人民群众美好生活的重要需求,而良好的水交换,有助于改善海湾、港口、人工岛、湖泊等水域的水体质量和周边的生态环境。因此,开展水交换的研究、寻找提高水交换能力的措施和更加优化的换水方案,是十分必要的。目前的相关研究主要分以下两个方面:一是针对近岸海洋水域,如海湾、港口、人工岛等,已有研究选取水体交换周期[1]、半交换时间[2]、水体交换率[3]、纳潮量[4]等指标,定量分析研究区域内水交换的效果。且研究发现通过增加研究区域与外海的水交换通道,有助于增强水交换能力[5]。二是针对天然和人工湖泊,已有研究发现通过引清布水(???)的工程措施,能显著改善西湖[6]、玄武湖[7]等湖泊的水环境,且引水水位差越大,水交换效果越好[8]。由此可见,引水置换是一种改善水环境的有效方法,且提高水位落差后水交换的效果明显。总体来看,已有研究取得了大量成果,但还有待进一步完善,主要体现在:一是目前研究中,通过增大引水差实现引水置换,从而改善水环境的方法实质是增大引水量,但对正常蓄水位固定(即引水量固定)的水域是否可行有待研究。二是已有研究大部分采用数值模拟[9-10]的方法开展研究,计算效率较低,且人为改变参数范围的局限性较大。

    本文拟在已有研究的基础上,提出一种新的技术手段用以开展水交换优化研究,并以实际工程为例,验证本文所提方法在水交换优化研究方面的可行性和优越性。

    • 代理模型技术能够有效代替复杂的数值模拟分析,而智能算法可用于求解代理模型,在参数范围内寻找模型的最优解。因此,本文试图建立基于代理模型的水交换优化模型,通过智能算法寻优,从而求解出水交换的最优方案,并以某人工岛游艇别墅区港池初拟方案为例,对上述方法进行验证,从而得出最终结论。

    • RBF代理模型对于非线性复杂问题,泛化能力强、收敛速度快[11],近年来成功运用于机器故障诊断[12]、注塑工艺优化[13]、河网洪水泥沙预报[14]等方面,是较为常用的代理模型[15]。RBF网络是单隐层的前向网络,由输入层、隐含层和输出层构成,隐层节点激活函数为径向基函数,包括高斯函数、反射Sigmoid函数和逆多二次函数。如果RBF神经网络输入训练样本为Xk时,网络第j输出神经元的实际输出为[16]

      $${\rm{}}y\left( x \right) = \mathop \sum \limits_{i = 1}^N {\omega _i}\emptyset \left( r \right)$$ (1)

      式中:x为输入变量;y为输出变量;N为隐层神经元个数;$ \omega $为权重系数;$\emptyset \left( r \right)$为径向函数;r为待测点x与数据中心$ {c}_{i} $之间的欧氏距离。

    • 常用的智能优化算法如遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法、神经网络算法等,可用于求代理模型的最优解。其中粒子群算法运行速度快,实现性好,广泛应用于水利工程优化问题。高学平等[17]运用粒子群算法,成功求解相邻梯级泵站调水最优方案;郭武[18]等通过粒子群算法,求解梯级水库联合防洪补偿调度模型,从而拟定了梯级水库联合补偿调度原则。

      粒子群算法通过模拟鸟类的觅食过程,完成问题优化过程。在该算法中,粒子在每一次迭代中通过跟踪两个“极值”完成更新:(1)个体极值(pbest),粒子本身找到的最优解;(2)全局极值(gbest),全种群目前找到的最优解。粒子i将按照式2、式3更新自己的位置和速度:

      $${v_i} = \omega \times {v_i} + {c_1} \times rand\left( {} \right) \times \left( {{p_{best}}\left[ i \right] - {x_i}} \right) + {c_2} \times rand\left( {} \right) \times \left( {{g_{best}}\left[ i \right]} \right) - {x_i})$$ (2)
      $$ {x}_{i}={x}_{i}+{v}_{i} $$ (3)

      式中:$ {v}_{i} $为第i个粒子的速度;$ {x}_{i} $为第i个粒子的位置;c1c2为学习因子,通常取2;rand()为[0,1]上随机数;w为惯性因子。((2)式是这样表示的?)

    • MIKE21是由丹麦水利学研究所(DHI)开发的平面二维数学模型,用于模拟河湖、海湾及海洋波浪、泥沙等。模型是基于三向不可压缩和Reynolds值均布的Navier-Stokes方程,并服从于Boussinesq假定和静水压力的假定,二维非恒定浅水方程组为:

      $$\frac{{\partial h}}{{\partial t}} + \frac{{\partial h\bar u}}{{\partial x}} + \frac{{\partial h\bar v}}{{\partial y}} = hS$$ (4)

      动量方程为:

      $$\begin{array}{c} \dfrac{{\partial p}}{{\partial t}} + \dfrac{\partial }{{\partial x}}\left( {\dfrac{{{p^2}}}{h}} \right) + \dfrac{\partial }{{\partial y}}\left( {\dfrac{{pq}}{h}} \right) + gh\dfrac{{\partial \varepsilon }}{{\partial x}} + \dfrac{{gp\sqrt {{p^2} + {q^2}} }}{{{C^2}{h^2}}}\\ - {\varOmega _q} - fV{V_x} = 0 \end{array}$$ (5)
      $$\begin{array}{c} \dfrac{{\partial q}}{{\partial t}} + \dfrac{\partial }{{\partial x}}\left( {\dfrac{{{q^2}}}{h}} \right) + \dfrac{\partial }{{\partial y}}\left( {\dfrac{{pq}}{h}} \right) + gh\dfrac{{\partial \varepsilon }}{{\partial y}} + \dfrac{{gp\sqrt {{p^2} + {q^2}} }}{{{C^2}{h^2}}}\\ - {\varOmega _q} - fV{V_y} = 0 \end{array}$$ (6)

      对流扩散方程为:

      $$\frac{{\partial h\bar C}}{{\partial t}} + \frac{{\partial h\bar u\bar C}}{{\partial x}} + \frac{{\partial h\bar v\bar C}}{{\partial y}} = h{F_c} - h{k_p}\bar C + h{C_s}S$$ (7)

      其中水平扩散项表示为:

      $${F_c}\left[ {\frac{\partial }{{\partial x}}\left( {{D_h}\frac{\partial }{{\partial x}}} \right) + \frac{\partial }{{\partial y}}\left( {{D_h}\frac{\partial }{{\partial y}}} \right)} \right]C$$ (8)

      式中:h为总水深;t为时间;$ \bar{u} $$ \bar{v} $为沿水深平均的流速;xy为笛卡尔坐标系坐标;S为源项;$ \varepsilon $为水位高程;pq分别为xy方向上的流量;g为重力加速度;C为谢才系数;$ {\varOmega }_{g} $(式中没看到这参数???),$ {\varOmega }_{p} $为Coriol系数;$ f $为风摩擦因子;V为风速;$ {V}_{x} $$ {V}_{y} $分别为Vxy方向上的分量;$ \bar{C} $为沿垂向平均的指示物浓度;$ {k}_{p} $为指示剂线性衰减率;$ {C}_{s} $为源的指示物浓度;$ {D}_{h} $为水平扩散系数。(8式是对上面式子的解释吗?不能没有等于号写了这个???)

      采用溶解性保守物质A作为示踪剂,不考虑物质A的降解、絮沉等其他因素,仅考虑物质A的对流扩散作用,以反映研究区域内的水交换程度。假定研究区域内原有水体中物质A的初始含量为100%,引入海水使研究区域内水位上升,外海中物质A的含量为0,新旧水体发生掺混,通过水体内物质A的含量变化,从而反映出水交换的程度。

    • 研究区域为某人工岛南端的游艇别墅区港池。该人工岛呈双鱼环抱圆形,半径840 m,规划面积2.2 km2,其中填海形成陆域面积1.8 km2,形成岸线11.7 km2。该岛由东、西两个半岛及中心岛组成,由北向南设置一条内河道,游艇别墅区港池位于该岛西南方向。内河道南端布置双线船闸,闸室有效长度23 m,闸室有效宽度8 m,两侧边墩宽6.5 m,中墩宽12 m。具体布置见图1。游艇别墅区港池低水位1.0 m,正常蓄水位2.5 m,通过船闸与外海进行水交换。初拟换水方案为当外海水位上升至1.0 m时打开船闸引水,当水位上升至2.5 m时关闭闸门,使港池内水位和外海水位同步上升。本次研究依据外海潮位资料,改变船闸闸门开启时间,从而获取不同的引水落差。

      图  1  人工岛和游艇别墅区示意

      Figure 1.  Artificial island and yacht villa area

    • 合理选取引水方案样本,利用MIKE21水动力和对流扩散模型计算每个样本,样本结果用于建立和验证基于RBF代理模型的水交换优化模型。

    • 根据外海潮位资料,影响引水方案的两个重要参数为开闸门的时刻和引水时长,开闸时间范围为13:00~15:00,引水时长范围为0~120 min。主要考虑引水结束时港池内平均水位能否达到正常蓄水位2.5 m、平均污染物浓度能否明显下降且在港池内分布均匀。如果输入变量数为x,则构建RBF代理模型至少需要2x+1个样本[17]。在此基础上,本文按照初选样本、构建RBF代理模型、增加样本优化模型的顺序,最终以10 min为开闸门时间间隔,引水时长以20 min叠加,并且在水位变化快的位置增设样本点,共选取46个样本方案。其中训练样本和测试样本按照7:3的比例随机划分,共包含33个训练样本和13个测试样本。

    • 根据人工岛地形资料,提取地形坐标和边界坐标,按1:1建立人工岛整体模型如图2所示,共生成三角形网格9 338个。在此基础上,从中提取出位于人工岛内河道南端的游艇别墅区港池的独立模型,并对独立模型网格进行加密如图3所示,共生成三角形网格6 939个。

      图  2  人工岛整体模型

      Figure 2.  Artificial island overall model

      图  3  港池独立模型

      Figure 3.  Harbor independent model

    • 人工岛整体模型和港池独立模型的开边界均指定为水位过程,由于工程所在区域为缓流区,涨潮平均流速为0.38~0.46 m/s,落潮平均流速为0.32~0.34 m/s,潮流动力较弱,因此可忽略潮流对内外水交换的影响,仅考虑由水位差产生的水流动力。引水时边界水位变化过程根据平均高潮位潮型设定,潮位资料见表1[19],其他边界均设置为陆地边界。

      表 1  潮位资料

      Table 1.  Tidal level data

      时刻11:0011:2011:3012:0012:3013:0013:3014:0014:3014:4815:00
      潮位(m)−1.50−1.00−0.450.000.501.001.431.892.302.502.63
    • 由于缺少游艇别墅区港池的实测资料,参考已有研究,利用人工岛物理模型实验6个点位的实测流速资料[20],验证人工岛整体数学模型。由于游艇别墅区港池独立模型是从整体模型中提取而得,因此可间接对游艇别墅区港池独立模型进行验证。人工岛内河道对称布置6个测点如图4所示,利用各测点物理实验得到的最大流速,与数值模拟结果进行比较(见表2)。为了评价模型的性能,本文采用由Wilmott提出的统计学方法[3, 21]对数学模型的实效性进行评价,该方法计算式如下:

      表 2  人工岛内河道各测点最大流速统计

      Table 2.  Maximum flow rate statistics of various measuring points in rivers in artificial islands m/s

      测点实测速度模拟速度测点实测速度模拟速度
      d1 0.74 0.70 d4 0.39 0.35
      d2 0.38 0.35 d5 0.90 0.86
      d3 0.46 0.41 d6 0.99 1.00

      图  4  测点布置

      Figure 4.  Measuring point layout

      $$skill = 1 - \frac{{\displaystyle\sum \nolimits_{i = 1}^N {{\left| {M - D} \right|}^2}}}{{\displaystyle \sum \nolimits_{i = 1}^n {{\left( {\left| {M - \bar D} \right| + \left| {D - \bar D} \right|} \right)}^2}}}$$ (9)

      式中:M为模拟值;D为实测值;$ \bar D $为实测平均值。该评价指标中Skill(请用一个字母加下标表示???)的值位于[0.65,1.00]时表示数学模型精度极好。经计算,各测点数值模拟最大流速与实测值吻合较好,skill=0.995说明该模型对人工岛内河道水动力模拟情况良好,游艇别墅区港池独立模型可以用于本研究中样本的计算。

    • RBF网络输入变量为开闸时间和引水时长,而输出变量为引水结束后港池内平均水位。本研究由于样本数量有限,且为了尽可能得到最佳逼近值,故采用正则化RBF网络,其网络隐层节点数等于输入的样本数,并将所有输入的样本设为径向基函数的中心,各径向基函数取统一的扩展常数。函数选用高斯函数,该函数具有形式简单、径向对称、光滑性好等优点[14],表达式为:

      $$\emptyset \left( r \right) = {\rm{exp}}\left( { - \frac{{{r^2}}}{{2{\sigma ^2}}}} \right)$$ (10)

      式中:r为待测点x与数据中心$ {c}_{i} $之间的欧氏距离;$ \sigma $为扩展常数,其取值与样本数量和散布特性有关,本文令其等于基函数中心与样本集输入模式之间的平均距离[14]

    • 不同引水方案的最终目的相同,即引水结束后港池内平均水位为2.5 m,因此粒子群算法的寻优目标为求模型输出值与2.5之间差值绝对值的最小值,故设置适应度函数见式(11)。而在样本计算时发现,在引水结束后港池内平均水位达到2.5 m这一条件下,引水时长越短,港池内新旧水体之间掺混效率越高,水交换越显著。因此,约束条件为引水时长最短。

      $$ f=abs(y-2.5) $$ (11)

      式中:f为适应度函数值;abs为求(y-2.5)的绝对值;y为基于RBF代理模型的水交换优化模型的输出值。

      利用粒子群算法求解基于RBF代理模型的水交换优化模型,待优化变量为模型的输入值,即开闸门时间和引水时长,开闸时间参数范围为13:00—15:00,引水时长参数范围为0~120 min。参数包括最大迭代次数、粒子个数、惯性权重系数、学习因子,结合已有研究的参数设置[22-23],本文粒子群算法的参数设置分别为:最大迭代次数100,粒子个数50,惯性权重0.9,学习因子c1和c2均取2。

    • 基于MIKE21,利用水动力和对流扩散模型,分别计算46个样本方案下,对应的引水结束时港池内平均水位,最高、最低水位和引水结束后污染物平均浓度。由于在计算样本时发现,在引水结束后的46 h内,新旧水体掺混较为剧烈,港池内不同位置的污染物浓度变化较快,而在46 h后水交换趋缓,因此选取引水结束后46 h污染物平均浓度作为样本的一个输出指标。样本计算结果见表3

      表 3  引水方案样本及数值模拟结果

      Table 3.  Water diversion scheme and numerical simulation results

      样本开闸时刻引水时长/min引水结束最高水位/m引水结束最低水位/m平均水位/m46 h污染物平均浓度/%
      1 13:00 20 1.285 1.251 1.279 98.476
      2 13:00 40 1.589 1.558 1.573 93.695
      3 13:00 60 1.890 1.839 1.884 88.827
      4 13:00 80 2.179 2.153 2.171 84.787
      $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $ $ \vdots $
      43 14:30 30 6.575 5.107 5.919 52.568
      44 14:40 20 7.323 5.632 6.649 49.389
      45 14:50 10 4.093 3.263 3.906 66.399
      46 14:55 5 2.508 1.700 2.258 83.524

      为消除不同数据之间量纲不同的影响,提高RBF代理模型的计算精度,需要将RBF代理模型的输入参数(闸门开启时间、引水时长)和输出参数(引水结束后港池内平均水位)3个指标进行数据归一化处理,归一化到[−1,1]区间内。

    • 基于RBF代理模型,建立不同引水方案下,开闸时间和引水时长与引水结束后港池内平均水位的响应关系。经过17次迭代,均方误差达到0.000 9<0.001。而测试集平均水位与预测结果的相关性分析如图5所示,预测值与真实值的R2为0.956 99,说明二者之间相关性较好,证明基于RBF代理模型的水交换优化模型精度较高。

      图  5  测试集平均水位与预测结果相关性分析

      Figure 5.  Correlation analysis between average water level in test set and prediction results

      在基于RBF代理模型的水交换优化模型成功构建后,RBF代理模型一次抽样所需的时间量级为秒,而利用MIKE21计算一个样本所需时间约3~4 h。相较传统的数值模拟方法,基于RBF代理模型的水交换优化模型大大提高了计算效率。

    • 本文基于RBF代理模型建立不同引水方案与最终港池水位的响应关系,利用粒子群算法,在RBF代理模型输入参数的取值范围内寻找适应度函数的最小值,最优适应度值变化曲线如图6所示,最终得到适应度函数最小值为0.000 3。此时对应的RBF代理模型输出值为2.500 3 m,输入参数为14:54开闸门,引水时长362 s。将此方案代入水动力和对流扩散模型计算,得到该方案下引水结束后港池内平均水位为2.495 2 m,平均水位相对误差为0.20%,说明基于RBF代理模型的水交换优化模型精度较高,可以寻找到引水方案参数范围内的最优方案。

      图  6  每代最优适应度值变化曲线

      Figure 6.  Optimal fitness value curve for each generation

      该研究区域初始引水方案为在潮位上升至1.0 m时打开闸门引水,潮位上升至2.5 m时关闭闸门(即样本6),游艇别墅区港池水位和外海水位同步上升,引水时长120 min。而通过本文所提方法得到的最优方案引水时长仅需362 s,大大提高了水交换的效率。如图78所示,最初方案引水结束46 h后,南1、南2两个港池内不同位置的污染物浓度仍很不均匀,尤其是南1港池的西北拐角处、南2港池靠近内河道位置的水体污染物浓度依旧接近100%,说明上述位置的水体还未和新引进水体发生交换,水交换的效率较差。而在最优方案下,引水结束后经过46 h,新旧水体掺混效率更高。南1、南2两个港池内各个位置的污染物分布均匀,经过1次引水浓度基本已经下降至70%,水体更新更为显著。(%加到图例上???)

      图  7  初始方案引水结束46 h污染物浓度

      Figure 7.  Concentration of pollutants after the initial water diversion scheme for 46 h

      图  8  最优方案引水结束46 h污染物浓度

      Figure 8.  Concentration of pollutants after the optimalwater diversion scheme for 46 h

    • 仅靠传统的数值模拟方法开展水交换研究,难以获取最佳水交换方案,且计算成本高、耗时长。本文提出基于RBF代理模型和粒子群算法的水交换优化方法,并以某人工岛游艇别墅区港池初拟方案为研究对象,验证该方法的可行性和优越性。

      (1)为构建基于RBF代理模型的水交换优化模型,首先根据资料确定参数区间,选取46个方案样本,利用MIKE21水动力和对流扩散模型,对每个样本进行数值模拟计算;然后用选定的46个样本,构建并验证基于RBF代理模型的水交换优化模型;最后采用粒子群算法对基于RBF代理模型的水交换优化模型求解,得到最优换水方案。

      (2)利用上述方案研究某人工岛游艇别墅区,构建的基于RBF代理模型水交换优化模型的预测值与真实值之间的R2=0.956 99,相关性较强;通过粒子群算法得到最优引水方案,将该方案代入水动力和对流扩散模型进行求解,与粒子群算法求解RBF代理模型结果进行比较,相对误差为0.20%。证明模型精度高,且通过粒子群算法能获取参数区间范围内的最优方案。

      (3)基于RBF代理模型的水交换优化模型1次计算所需时间量级为秒,而传统的数值模拟方法1次计算所需时间量级为小时,证明基于RBF代理模型的水交换优化模型计算效率较高。

参考文献 (23)

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